APOGEO
DEL CÁLCULO
ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ
Sección Matemática. PUCP
jortiz@pucp.edu.pe
1
Historia de la Matemática
Lectura 6
A. Ortiz F.

Matemática europea 1550-1700 produjo más que los griegos en mil años; … en
Grecia, grupos selectos; en Europa educación expandió la enseñanza y el
surgimiento de matemáticos en diversos países.
La imprenta influyó mucho.
Surgen nuevos dominios matemáticos, muchas nuevas
ideas y aplicaciones; Descartes: pensamiento
científico; Newton, su cálculo influyó en física –
matemática.
Hasta 1600: geometría “dominó” al álgebra y
trigonometría. Después de trabajos de Descartes,
Fermat y Wallis: álgebra fue un argumento superior
en solución de problemas geométricos; Newton
también pensó así.
Matemática ↔ realidad física : astronomía, música, física matemática .
Sociedades y revistas matemáticas .
2
A. Ortiz F.

Cálculo se extendió, aparecieron nuevas ramas.
Hubo cierta confusión en proceso creativo; intuición
y visión física guiaron pensamiento; aún no existía rigor
analítico.
Desarrollo del cálculo infinitesimal en el S. XVIII fue
influenciado por conexiones con: mecánica, óptica y la
astronomía; surgen las ecuaciones diferenciales.
Matemáticos: Jacob y John Bernoulli, B. Taylor, J. Stirling, L. Euler, C. Maclaurin .
A. Clairaut, J. d’Alembert, J. H. Lambert, J.L. Lagrange, G. Monge, P.S. Laplace y A.M.
Legendre : conexiones entre la matemática pura con la aplicada!
Cálculo infinitesimal se hizo más y más algebraico, y su base cambió.
3
A. Ortiz F.
John Bernoulli

Siglo XVIII fue el siglo de Euler.
Gran matemático; tuvo extraordinaria memoria
e increíble producción matemática.
Trabajó en: cálculo, ecuaciones diferenciales, geometría
analítica de curvas y superficies, geometría diferencial,
teoría de números, series, cálculo de variaciones, …
Le interesó la química, geografía, cartografía,
… su obra abarca 70 gruesos volúmenes!
Escribió textos sobre mecánica, álgebra, análisis
matemático, geometría analítica, geometría diferencial,
cálculo de variaciones; muchas generaciones de
matemáticos aprendieron de Euler
4
Newton dominó al siglo XVII, Euler al XVIII
A. Ortiz F.
Euler

Antigüedad y Edad Media .
Matemáticos y filósofos en Grecia, aún no tenían idea precisa de función
pero la distinguen explícitamente en sus investigaciones.
Algunas tablillas babilónicas sobre astronomía vislumbran tal idea.
Posterior desarrollo de dependencia funcional ocurre en Edad Media.
El concepto de función aparece explícitamente por primera vez en escritos de
filósofos de la naturaleza (Escuelas de Oxford y París); Siglo XIV. Napier, Galileo,
Cavalieri, …
Siglos XVII - XVIII.
Evolución socio-económico ⇒ revolución científica de S. XVII y XVIII
⇒ nueva concepción del mundo físico.
Concepto de una ley como una dependencia entre cantidades variables fue una
cuestión central en el desarrollo de la ciencia y la matemática es considerada más
importante medio universal para comprender al mundo.
5
A. Ortiz F.

Newton, Leibniz, James y John Bernoulli, L’Hospital, Huygens, …
emplearon funciones conocidas y otras nuevas en sus investigaciones.
Definición (Bernoulli – Euler). « Una expresión analítica formada de alguna manera con
variables y constantes combinadas en un todo usando las leyes de operaciones matemáticas ».
Una débil definición.
Definición. (Euler). « Una función de una variable es una expresión analítica formada de
alguna manera con una variable y algunas constantes ».
Es mejor…
Euler . « Una función es continua si ella es dada por una expresión analítica, como y = senx ,
y = x2 +1 , y = log x, … »
En estas definiciones se usa “expresión analítica” ; ¿Qué es ello? …
Euler. « Una función es discontinua si ella es dada con varias expresiones analíticas, como
»
6
2
x... x 1
y
x ... x 1
= ⎨
A. Ortiz F.

Las funciones elementales fueron desarrolladas en forma adecuada.
Ejemplo. La función logaritmo surgió en las relaciones entre términos de una
progresión geométrica con una aritmética; la función logaritmo fue tratada como serie.
Wallis, Newton, Leibniz , J. Bernoulli: función exponencial. Bernoulli prueba: f.
logaritmo es inversa de f. exponencial.
Euler (“Introductio …”) define:
Newton, Leibniz dieron series con funciones trigonométricas.
Euler dio un tratamiento completo de funciones trigonométricas; le es claro la
periodicidad.
1748. “Introductio in analysin infinitorun”, obra vital de Euler, contiene teoría
aritmética – algebraica de funciones y geometría analítica; ambos campos: métodos y
técnicas bases para el cálculo infinitesimal •
7
A. Ortiz F.
n
x
n
x
e lim 1
,
n
→∞
=
+
1
n
n
logx lim n x 1 .
→∞
=
-
John Wallis

Euler :
Euler necesitó : •
• P(x) , polinomio grado n, tiene sus n raíces x = a, x = b, x = c, …, x = d.
Euler obtuvo:
Teorema.
Prueba.
Euler introduce la función :
f(x) es un polinomio infinito con f(0) = 1 .
Luego, puede ser factorizado siempre que determinemos las raíces de f(x) = 0.
Con este fin, para x ≠ 0 ,
8
A. Ortiz F.
2
1 1 1 1
1
1
...
... ?
4 9 16 25
k
+ + + + + + +
=
3
5
7
9
x x x x
Senx x
...
3! 5! 7! 9!
= - + - + -
x
x
x
x
P(x) 1
1
1
... 1
.
a
b
c
d
⎞⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
= -
-
-
-
││
││
│ │
⎠⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
2
2
1 1 1 1
1
1
...
...
.
4 9 16 25
k
6
π
+ + + + +
+ +
=
2
4
6
8
10
x x x x x
f(x) 1
...
3! 5! 7! 9! 11!
= - + - + -
+

Luego, si x ≠ 0, f(x) = 0 ⇔
⇔ sen x = 0 .
Luego, soluciones de f(x) = 0 son x = ± π , ± 2π , ± 3π , ± …
Así, Euler factoriza f(x):
De donde,
Ecuación clave: suma infinita = producto infinito.
9
2
4
6
8
x
x
x
x
1
...senx
3! 5! 7! 9!
f(x)
.
x
x
-
+
-
+
-
=
=
A. Ortiz F.
x
x
x
x
x
x
f(x) 1
1
1
1
1
1
...
2
2
3
3
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
= -
-
-
-
-
-
│ │
││
││
││
││
π
π
- π
π
- π
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
... .
2
2
3
3
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
= -
+
-
+
-
+
│ │
││
││
││
││
π
π
π
π
π
π
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
2
4
6
8
x
x
x
x
1
...
3! 5! 7! 9!
-
+
-
+
-
=
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
1
1
1
1
...
4
9
16
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
-
-
-
-
││
││
││
π
π
π
π
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
senx
0
x
=

“Multiplicación infinita” de Euler resultará en la ecuación :
Luego ,
Es decir,
Conclusión:
10
A. Ortiz F.
2
4
6
8
x
x
x
x
1
...
3! 5! 7! 9!
-
+
-
+
- =
2
4
2
2
2
2
1
1
1
1
1
... x (...)x ...
4
9
16
-
+
+
+
+
+
-
π
π
π
π
2
2
2
2
1
1
1
1
1
... ,
3!
4
9
16
- = -
+
+
+
+
π
π
π
π
2
1 1
1 1 1
1
... .
6
4 9 16
=
+ + +
+
π ⎝
2
2
1 1 1
1
1
...
...
4 9 16
k
6
π
+ + + + +
+ =

11
A. Ortiz F.
Siglo XVIII:
Uso del concepto de integral fue limitado.
Newton usó la derivada y la integral indefinida. Leibniz priorizó las diferenciales y la
suma de diferencias.
John Bernoulli trató la integral como la inversa de la diferencial.
Si dy = f’(x), entonces y = f(x).
La existencia de la integral nunca se cuestionó (aplicaciones).
Para evaluar
, James Bernoulli (1699) usa el
cambio de variables
que lleva a
integrable como función logaritmo.
John Bernoulli (1702) observa que
y facilita la integración . El método fue aplicado a la integral.
2
2
2
a
dx
a x
-
2
2
2
2
b t
x a
b t
-
=
+
1
dt,
2at
2
2
2
a
a 1
1
a x
2 a x a x
=
+
-
+
-
James Bernoulli

Al factorizar el denominador, los factores pueden ser “números
complejos”. Leibniz dijo que esta presencia “no hace daño”.
1702 . J. Bernoulli observa: diferencial
bajo substitución
lleva a
… diferencial de un logaritmo de un número imaginario. Pero,
integral dada lleva a arctg.
Así, Bernoulli establece relación entre funciones trigonométricas y funciones
logarítmicas.
Corolario. Discusión naturaleza de logaritmos de números negativos y de
complejos.
Leibniz (1712): logaritmos de números negativos son no existentes (son
imaginarios) . Bernoulli: ellos deben ser reales.
Roger Cotes (1714) :
Euler (1740):
12
e
1
log (cos
1sen ).
- ϕ =
ϕ+ -
ϕ
A. Ortiz F.
1x
1x
2cosx e
e
.
-
- -
=
+
2
1
dx.
ax bx c
+ +
2
2
dz
b z
+
t 1
z
1 b
t 1
-
= -
+
dt
1 2bt
-
-

Euler (1743):
A. De Moivre (1722) :
Euler generalizó a todo real n.
Euler (1747): conociendo relaciones entre funciones exponenciales, logarítmicas y
funciones trigonométricas apunta a … logaritmos de números complejos.
Cuidado ! Leibniz :
Si x = -2 ,
Euler:
Euler: “el argumento vía series no prueba algo…” •
13
2
3
4
1
1
1
log(1 x) x
x
x
x
... ;
2
3
4
+ = -
+
-
+
2
3
4
1
1 x x x x ...
1 x
= - + - + -
+
1
Si x
3 ,
1 3 9 27 ...
2
1
Si x 1 ,
1 1 1 1
...
2
0 2 2 10 26 ...
= -
- = + + +
+
=
= - + - +
= + + +
+
1x
1x
e
e
sen x
.
2 1
-
- -
-
=
-
A. Ortiz F.
n
(cos
1sen ) cosn
1senn , n 0entero.
ϕ± -
ϕ =
ϕ+ -
ϕ
>
4 8
log( 1) 2
... 0.
2 3
- = - - - -

Problema : dar significado a n! Si n es no entero.
Euler observó:
Esta fórmula es correcta pero no significado para enteros negativos.
Euler observa: para
, el lado derecho produce
Producto infinito de Wallis .
Si denotamos Γ(n+1) = n! (Legendre), Euler prueba: Γ(n+1) = nΓ(n).
Euler llega a:
, casi todo n arbitrario.
1781.Euler:
Estos, y otros trabajos, motivaron
el intento de rigorizar al cálculo !
14
1
n
o
n!
( logx) dx
=
-
n
x
o
si t logx , obtiene (n 1)
x e dx.
-
= -
Γ + =
A. Ortiz F.
n
n
n
n
k 1
2
1
3
2
4
3
n!
...
1 n 1
2 n 2
3 n 3
k 1
k
k
n k
=
⎞⎛
⎞⎛
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= │
││
││
│ │
│ │
│ │
││
││
+
+
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎠⎝
⎠⎝
+
=
+
1
n
2
=
2.2 4.4 6.6 8.8
...
2
1.3 3.5 5.7 7.9
π ⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞⎛
=
││
││
││
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝

(v). Ecuaciones Diferenciales.
EDO.
I. Napier (1550-1617); tablas logaritmos conducen
interpretación vía una ecuación diferencial.
Galileo (1564-1642) y Descartes (1596 – 1650) usaron
ed’s estudio fenómenos naturales. 1638, Galileo
estudia problema:
“determinar espacio s(t) recorrido por un cuerpo en
caída libre”.
Solución
1628 . Descartes, problema inversión de tangente; solución implica solución de una ed.
Cálculo: surgen nuevas clases de problemas , … , cuadraturas; problemas físicos
motivaron investigaciones en ecuaciones diferenciales.
Problema péndulo:
15
2
1
S(t)
gt , donde v(t) gt.
2
=
=
2
2
d
q
sen 0 ,..., sen
.
dt l
θ
+
θ =
θ θ
A. Ortiz F.
Galileo
t s(t)
v(t)

1699. Huygens menciona e.d. Leibniz: ed son funciones de piezas del
triángulo característico.
1690. James Bernoulli publica trabajo aparece:
1691. James Bernoulli: tractriz, curva tq.
, constante, ∀P.
1695. James Bernoulli; problema: resolver
“Ecuación Bernoulli” (e B).
16
2
2
3
dy b y a dx a
- =
A. Ortiz F.
2
3
2
3
3
2
2b y 2a
dedonde
b y a x a ... cicloide.
3b
-
- =
PT
k
OT
=
2
2
dy y
Obtuvo:
; luego, ydx
a y dy
ds a
=
=
-
2
2
2 3
1
y
y dx
(a y ) , de donde
3
=
-
2
2
2
2
a
a y
x
a y a log
.
y
+
-
+
-
=
n
dy
P(x)y Q(x)y ...
dx
=
+

1696. Leibniz : prueba (eB) se reduce a una ecuación lineal con z = y1-n
James usa separación de variables.
Trayectorias ortogonales permaneció inactivo hasta 1715 cuando Leibniz desafió
matemáticos ingleses:
« descubrir el método general para encontrar trayectorias ortogonales de una familia dada
de curvas »
Newton, cansado de un día de trabajo en Casa de Moneda, resolvió el problema antes de ir a
dormir; se publicó en 1716.
Newton probó como encontrar curvas cortando a una familia dada según un ángulo
constante, ó según un ángulo variando con cada curva de la familia dada de acuerdo a una
ley dada. Newton uso edo de segundo orden.
1717. Jacob Hermann (1678 – 1733) (estudiante de James B.) : “si F(x,y) = 0 es familia
dada de curvas, entonces
; trayectoria ortogonal tiene como su pendiente “.
Dijo: la edo de las trayectorias ortogonales de F(x,y, c) = 0 es F
y
dx = F
x
dy ; resuelve esta
ecuación para c ; substituye este valor en F(x,y, c) = 0 y resuelve la ed. resultante.
17
A. Ortiz F.
x
y
F
y'
F
= -
y
x
F
F

Problema. (John Bernoulli). « Encontrar el movimiento de un proyectil en un
medio cuya resistencia es proporcional a cualquier potencia de la
velocidad »
Una edo exacta de primer orden es. M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
t q. Mdx + Ndy es una diferencial exacta de alguna función z = f(x,y).
1739-40, Clairaut establece:
condición para que ed sea exacta.
1734 – 35 Euler dio misma condición.
Si ed es exacta, ella puede ser integrada (Clairaut – Euler).
Soluciones singulares fueron estudiadas por Clairaut y Euler
1734 . Clairaut estudia y = xy’ + f(y’) .
solución : y = cx + f(c) .
18
n
dv
ed : m
kv mg.
dt
-
=
M
N
y
x
=
A. Ortiz F.

(vi). Ecuaciones de Orden Superior .
Edo segundo orden aparecen en problemas físicos
(± 1691) ; James Bernoulli, Taylor , …
Cuerda vibrante. John Bernoulli ,
1728. Euler considera ed. segundo orden (mecánica):
Estrategia de Euler
Cambio de variables y = evt(v) , x = e
αv
, α constante a ser determinada; ellas
son ecuaciones paramétricas para x, y, en términos de v;
podemos calcular
; se reemplaza en (+) , obtiene ed segundo orden en t
como función de v. Fija α para eliminar factor exponencial (v ya no aparece
explícitamente). Vía el cambio
, la e.c. de 2º orden
se reduce a una de primer orden .
19
2
2
d y
ky.
dx
= -
p 2
2
m
m
p
n
p 2 2
2
n
dy
d y ax
ax dx y dy d y ó
( )
dx
dx
y
-
-
=
=
+
A. Ortiz F.
dv
z
dt
=
2
2
dy
d y
y
dx
dx

La Ecuación de Riccati (Jacopo Francesco 1676 – 1754).
1743. Euler considera la ecuación:
coeficientes constantes .
Sostiene : “solución general debe contener n constantes arbitrarias, la solución será
una suma de n soluciones particulares, cada una multiplicada por una constante
arbitraria”.
Lagrange (1762 – 65): considera edo lineales con coeficientes no-constantes:
20
A. Ortiz F.
2
o
1
2
dy
a (x) a(x)y a (x)y ... edono lineal
dx
=
+
+
-
2
3
n
2
3
n
dy
dy
dy
dy
Ay B
C
D
... L
0,
dx
dx
dx
dx
+
+
+
+
+
=
2
2
dy
d y
Ly M
N
... T; L, M, N, T funciones de t
dt
dt
+
+
+ =

21
A. Ortiz F.
jortiz@pucp.edu.pe