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TEORÍA CUASILINEAL DE KATO
Msc. Cesar Loza Rojas1
Departamento de Matemdtica
Facultad de Ciencias
UNICA
XXXI COLOQUIO#ICA
1lozacr@yahoo.com,lozacr@gmail.com
Msc. César Loza RojasDepartamento de MatemáticaFacultad de Ciencias (UNICA)
TEORÍA CUASILINEAL DE KATO
XXXI COLOQUIO-ICA
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Introducción
En 1834, el ingeniero escoces J. S. Russell observg lo que llamg la gran ola de
traslacign (hoy llamada onda solitaria). En 1895, D. J. Korteweg y G. de Vries,
presentaron la ecuacign que modela este fengmeno ondulatorio
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Introducción
En 1834, el ingeniero escoces J. S. Russell observg lo que llamg la gran ola de
traslacign (hoy llamada onda solitaria). En 1895, D. J. Korteweg y G. de Vries,
presentaron la ecuacign que modela este fengmeno ondulatorio
E F H, E! "
3
H F H, E! " F H, E! H F H, E! # 0
donde F es una funcign con valores reales para H * R y E & 0.
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Introducción
En 1834, el ingeniero escoces J. S. Russell observg lo que llamg la gran ola de
traslacign (hoy llamada onda solitaria). En 1895, D. J. Korteweg y G. de Vries,
presentaron la ecuacign que modela este fengmeno ondulatorio
E F H, E! "
3
H F H, E! " F H, E! H F H, E! # 0
donde F es una funcign con valores reales para H * R y E & 0.
El objetivo de este trabajo consiste en establecer la buena formulacign local del
problema de valor inicial para la ecuacign de Korteweg#de Vries generalizada
KdVg!
% E F H, E! "
3
H F H, E! " FA H, E! H F H, E! # 0
F H, 0! # F0,
(1)
donde A * Z" en los espacios de Sobolev )D , D * R.
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Teoría cuasi-lineal de Kato
En 1975 Tosio Kato, propone la manera de bresolvercla ecuacign cuasi#lineal
% E F H, E! " # E, F! F H, E! # 9 E, F E!! * 2
F 0! # F0 * 3 ,
(2)
donde 2 e 3 son espacios de Banach, para cada E y F, # E, F! es un operador
lineal en 2 que genera un semigrupo fuertemente continuo, 9 : $0, 0% ! 2 ( 2 es
una funcign dada y F : $0, 0% ( 2.
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Teoría cuasi-lineal de Kato
En 1975 Tosio Kato, propone la manera de bresolvercla ecuacign cuasi#lineal
% E F H, E! " # E, F! F H, E! # 9 E, F E!! * 2
F 0! # F0 * 3 ,
(2)
donde 2 e 3 son espacios de Banach, para cada E y F, # E, F! es un operador
lineal en 2 que genera un semigrupo fuertemente continuo, 9 : $0, 0% ! 2 ( 2 es
una funcign dada y F : $0, 0% ( 2.
La teorfa cuasi#lineal de Kato se basa en dos teoremas, uno sobre la existencia y
unicidad de solucign local y el otro sobre dependencia continua de la solucign
respecto del dato inicial.
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Teoría cuasi-lineal de Kato
En 1975 Tosio Kato, propone la manera de bresolvercla ecuacign cuasi#lineal
% E F H, E! " # E, F! F H, E! # 9 E, F E!! * 2
F 0! # F0 * 3 ,
(2)
donde 2 e 3 son espacios de Banach, para cada E y F, # E, F! es un operador
lineal en 2 que genera un semigrupo fuertemente continuo, 9 : $0, 0% ! 2 ( 2 es
una funcign dada y F : $0, 0% ( 2.
La teorfa cuasi#lineal de Kato se basa en dos teoremas, uno sobre la existencia y
unicidad de solucign local y el otro sobre dependencia continua de la solucign
respecto del dato inicial.
En la teorfa cuasi#lineal, resolver significa demostrar la buena formulacign
local en el sentido de Hadamard (seccign 1.3).
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Teoría cuasi-lineal de Kato
En 1975 Tosio Kato, propone la manera de bresolvercla ecuacign cuasi#lineal
% E F H, E! " # E, F! F H, E! # 9 E, F E!! * 2
F 0! # F0 * 3 ,
(2)
donde 2 e 3 son espacios de Banach, para cada E y F, # E, F! es un operador
lineal en 2 que genera un semigrupo fuertemente continuo, 9 : $0, 0% ! 2 ( 2 es
una funcign dada y F : $0, 0% ( 2.
La teorfa cuasi#lineal de Kato se basa en dos teoremas, uno sobre la existencia y
unicidad de solucign local y el otro sobre dependencia continua de la solucign
respecto del dato inicial.
En la teorfa cuasi#lineal, resolver significa demostrar la buena formulacign
local en el sentido de Hadamard (seccign 1.3).
Los teoremas de Kato tienen 5 hipgtesis si 2! es homogenea y 7 hipgtesis si
2! no es homogenea.
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En este trabajo, se hace el cambio de variable
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En este trabajo, se hace el cambio de variable
F E! # 8
E
3
H G E! .
(3)
en donde +8 E
3
H ,E*R
es el grupo unitario generado por
3
H .
Con ello obtenemos el problema
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En este trabajo, se hace el cambio de variable
F E! # 8
E
3
H G E! .
(3)
en donde +8 E
3
H ,E*R
es el grupo unitario generado por
3
H .
Con ello obtenemos el problema
% E G E! " # E, G E!! G E! # 0, E & 0
G 0! # G0.
(4)
en donde # es un operador lineal que depende de E, I! * $0, "$ ! )D definido
por
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En este trabajo, se hace el cambio de variable
F E! # 8
E
3
H G E! .
(3)
en donde +8 E
3
H ,E*R
es el grupo unitario generado por
3
H .
Con ello obtenemos el problema
% E G E! " # E, G E!! G E! # 0, E & 0
G 0! # G0.
(4)
en donde # es un operador lineal que depende de E, I! * $0, "$ ! )D definido
por
# E, I! # 8
E
3
H ,E IH 8
E
3
H
con ,E I # #8 E
3
H I$
A
.
El cambio de variable 3! no estd sujeto a la restriccign D > 3/2.
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Hipótesis (X)
Sean 2 e 3 dos espacios de Banach reflexivos tales que 3 estd contenido
densamente y continuamente en 2. Ademds, existe un isomorfismo / : 3 ( 2 y
la norma de 3 es escogida de forma que / sea una isometrfa.
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Hipótesis (X)
Sean 2 e 3 dos espacios de Banach reflexivos tales que 3 estd contenido
densamente y continuamente en 2. Ademds, existe un isomorfismo / : 3 ( 2 y
la norma de 3 es escogida de forma que / sea una isometrfa.
!$'%(#"#%)& Sean D > 3/2,
2 # +
2
y
3 # )
D
.
Sabemos que 3 estd contenido en 2 densamente y continuamente. Definimos
sobre 3 el operador / por
/F # *
D
F, F * 3
en donde *D # 1
2
H
D/2
es el potencial de Bessel de orden D, asf para F * 3
)
/F ξ! # #1 " ξ
2$D/2
(F ξ! .
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Hipótesis (X)
Sean 2 e 3 dos espacios de Banach reflexivos tales que 3 estd contenido
densamente y continuamente en 2. Ademds, existe un isomorfismo / : 3 ( 2 y
la norma de 3 es escogida de forma que / sea una isometrfa.
!$'%(#"#%)& Sean D > 3/2,
2 # +
2
y
3 # )
D
.
Sabemos que 3 estd contenido en 2 densamente y continuamente. Definimos
sobre 3 el operador / por
/F # *
D
F, F * 3
en donde *D # 1
2
H
D/2
es el potencial de Bessel de orden D, asf para F * 3
)
/F ξ! # #1 " ξ
2$D/2
(F ξ! .
Proposición
/ * + 3 , 2! 8D F? ;D@>@CfiD>@ ;D@>LEC;6@!
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Hipótesis (A1)
Proposición
# , ! 8D F? @A8C47@C 78fi?;7@ 8? $0, 00% ! 1 6@? G4=@C8D 8? ( 2 : 1, ω! D;8?7@
1 F?4 5@=4 45;8CE4 8? 3 I ω F? ?N>8C@ C84=!
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Hipótesis (A1)
Proposición
# , ! 8D F? @A8C47@C 78fi?;7@ 8? $0, 00% ! 1 6@? G4=@C8D 8? ( 2 : 1, ω! D;8?7@
1 F?4 5@=4 45;8CE4 8? 3 I ω F? ?N>8C@ C84=!
!$'%(#"#%)& Dado F0 * )D , sea . > 4F04)D un nhmero real fijo y consideremos
la bola
1 # $. 0! # 1G * )
D
: 4G4)D < .2 .
Antes de continuar con la verificacign de la hipgtesis A1!, observemos que
H 8 E
3
H IA es continua y acotada. En efecto !
A
* %
R, R! implica que
H 8 E
3
H IA * %
R, R!. Ademds I * 1 , H 8 E
3
H I * )D1tenemos notando
que I * 1 ' )D ' %1
pues D > 3/2, y
"
"
"H 8
E
3
H I"""+
# "
"
"8 E
3
H H I"""+% "
"
"8 E
3
H H I""")D 1 % 4H I4)D 1
% 4I4)D < ..
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Hipótesis (A1)
Proposición
# , ! 8D F? @A8C47@C 78fi?;7@ 8? $0, 00% ! 1 6@? G4=@C8D 8? ( 2 : 1, ω! D;8?7@
1 F?4 5@=4 45;8CE4 8? 3 I ω F? ?N>8C@ C84=!
!$'%(#"#%)& Dado F0 * )D , sea . > 4F04)D un nhmero real fijo y consideremos
la bola
1 # $. 0! # 1G * )
D
: 4G4)D < .2 .
Antes de continuar con la verificacign de la hipgtesis A1!, observemos que
H 8 E
3
H IA es continua y acotada. En efecto !
A
* %
R, R! implica que
H 8 E
3
H IA * %
R, R!. Ademds I * 1 , H 8 E
3
H I * )D1tenemos notando
que I * 1 ' )D ' %1
pues D > 3/2, y
"
"
"H 8
E
3
H I"""+
# "
"
"8 E
3
H H I"""+% "
"
"8 E
3
H H I""")D 1 % 4H I4)D 1
% 4I4)D < ..
Proposición
# : $0, "$ ! 1 ( ( 2 : 1, ω! ω * R!
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Hipótesis (A2)
Proposición
-4C4 6474 E, I! * $0, 00% ! 1 E8?8>@D
/# E, I! /
1 # # E, I! " $ E, I!
(5)
7@?78 $ E, I! * + 2! I 4$ E, I!4- 2 ! % λ$ 6@? λ$ > 0 F?4 6@?DE4?E8!
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Hipótesis (A2)
Proposición
-4C4 6474 E, I! * $0, 00% ! 1 E8?8>@D
/# E, I! /
1 # # E, I! " $ E, I!
(5)
7@?78 $ E, I! * + 2! I 4$ E, I!4- 2 ! % λ$ 6@? λ$ > 0 F?4 6@?DE4?E8!
!$'%(#"#%)& Notemos que si F * / entonces /F * /,
<
H /F # /
<
H F para F * . y < * N
(6)
y
/8#E
3
H F # 8#E
3
H /F.
(7)
Luego si F * / tenemos por 6! y 7! que
$/, # E, I!% F # /# E, I! # E, I! /! F
En consecuencia
$/, # E, I!% /
1
F # 8
E
3
H $/, ,E I% H 8
E
3
H /
1
F
# 8
E
3
H $/, ,E I% H /
1
8
E
3
H F.
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Probamos ahora el siguiente estimado.
Proposición
/; $ , % 8D 8= 6@?>FE47@C I 9 , : * / 8?E@?68D
4$*
D
, 9 % :4+2 % % 4H 9 4)D 1 4:4)D 1
8? 7@?78 D > 3/2!
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Probamos ahora el siguiente estimado.
Proposición
/; $ , % 8D 8= 6@?>FE47@C I 9 , : * / 8?E@?68D
4$*
D
, 9 % :4+2 % % 4H 9 4)D 1 4:4)D 1
8? 7@?78 D > 3/2!
Proposición
-4C4 E@7@ F * / D8 6F>A=8 BF8
"
"
"$/, # E, I!% /
1
F"""+2 % D%)D 4,E I4)D 4F4+2 !
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Ahora, para cada I * 1 , definimos el operador lineal *$ E, I! por
& , #
*$ E, I!$ # .
*$ E, I! F # $/, # E, I!% / 1F
.
(8)
Entonces, para todo F * / tenemos que
"
"
"*$ E, I! F"""+2 % %D 4,E I4)D 4F4+2 .
Asf, *$ E, I! es un operador lineal acotado sobre /. Ademds / es denso en
2 # +2, extendemos *$ E, I! a 2 # +2 por continuidad y obtenemos el operador
lineal $ E, I! * + 2! tal que
4$ E, I!4- 2 ! % %D 4,E I4)D # λ$
para cada E, I! * $0, "$ ! 1 .
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Ahora, para cada I * 1 , definimos el operador lineal *$ E, I! por
& , #
*$ E, I!$ # .
*$ E, I! F # $/, # E, I!% / 1F
.
(8)
Entonces, para todo F * / tenemos que
"
"
"*$ E, I! F"""+2 % %D 4,E I4)D 4F4+2 .
Asf, *$ E, I! es un operador lineal acotado sobre /. Ademds / es denso en
2 # +2, extendemos *$ E, I! a 2 # +2 por continuidad y obtenemos el operador
lineal $ E, I! * + 2! tal que
4$ E, I!4- 2 ! % %D 4,E I4)D # λ$
para cada E, I! * $0, "$ ! 1 .
Veamos ahora la siguiente proposicign.
Proposición
-4C4 6474 E, I! * $0, "$ ! 1 E8?8>@D BF8 & /# E, I! / 1 # & # E, I!! I
/# E, I! /
1 # # E, I! " $ E, I! !
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Hipótesis (A3)
Para cada E, I! * $0, 00% ! 1 tenemos que # E, I! * + 3 , 2!, en el sentido
que 3 $ & # E, I!! y # E, I!33 * + 3 , 2!. Ademds, para cada I * 1 la
aplicacign E * $0, 00% +( # E, I! es fuertemente continua
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Hipótesis (A3)
Para cada E, I! * $0, 00% ! 1 tenemos que # E, I! * + 3 , 2!, en el sentido
que 3 $ & # E, I!! y # E, I!33 * + 3 , 2!. Ademds, para cada I * 1 la
aplicacign E * $0, 00% +( # E, I! es fuertemente continua
Probaremos
Proposición
-4C4 6474 E, I! * $0, "$ ! 1 E8?8>@D # E, I! * + 3 , 2!!
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Hipótesis (A3)
Para cada E, I! * $0, 00% ! 1 tenemos que # E, I! * + 3 , 2!, en el sentido
que 3 $ & # E, I!! y # E, I!33 * + 3 , 2!. Ademds, para cada I * 1 la
aplicacign E * $0, 00% +( # E, I! es fuertemente continua
Probaremos
Proposición
-4C4 6474 E, I! * $0, "$ ! 1 E8?8>@D # E, I! * + 3 , 2!!
Proposición
-4C4 6474 I * 1 =4 4A=;646;M? E * $0, "$ +( # E, I! 8D 9F8CE8>8?E8 6@?E;?F4
8? +2!
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Hipótesis (A4)
Para cada E * $0, 00% la aplicacign I * 1 +( # E, I! es Lipschitz continua en
+ 3 , 2!, es decir, existe µ# > 0 tal que
4# E, I1! # E, I2!4- 2 ! % µ# 4I1
I243 ,
para todo E * $0, 00% y I1, I2 * 1 .
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Hipótesis (A4)
Para cada E * $0, 00% la aplicacign I * 1 +( # E, I! es Lipschitz continua en
+ 3 , 2!, es decir, existe µ# > 0 tal que
4# E, I1! # E, I2!4- 2 ! % µ# 4I1
I243 ,
para todo E * $0, 00% y I1, I2 * 1 .
Proposición
-4C4 6474 E * $0, "$ 8H;DE8 µ# > 0 E4= BF8
4# E, I1! # E, I2!4- 2 ! % µ# 4I1
I243
A4C4 E@7@ I1, I2 * 1!
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Hipótesis (A5)
Existe µ$ > 0 tal que
4$ E, I1! $ E, I2!4- 2 ! % µ$ 4I1
I243 ,
para todo E * $0, 00% y I1, I2 * 1 .
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Hipótesis (A5)
Existe µ$ > 0 tal que
4$ E, I1! $ E, I2!4- 2 ! % µ$ 4I1
I243 ,
para todo E * $0, 00% y I1, I2 * 1 .
Proposición
'H;DE8 µ$ > 0 E4= BF8
4$ E, I1! $ E, I2!4- 2 ! % µ$ 33I1
I233)D
A4C4 6474 E, I1! , E, I2! * $0, "$ ! 1!
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Hipótesis (f1)
y (f2)
(f1) 9 : $0, 0% ! 1 ( 3 es acotada
49 E, I!43 % λ3 ,
E * $0, 0% ,
I * 1 .
Para cada I * 1 , E + ( 9 E, I! es continua de $0, 0% en 2 mientras que
para cada E * $0, 0% la aplicacign I * 1 + ( 9 E, I! es lipschitz en 2 esto
es,
49 E, I! 9 E, J!42 % µ2 4I
J42
donde µ2 & 0 una constante.
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Hipótesis (f1)
y (f2)
(f1) 9 : $0, 0% ! 1 ( 3 es acotada
49 E, I!43 % λ3 ,
E * $0, 0% ,
I * 1 .
Para cada I * 1 , E + ( 9 E, I! es continua de $0, 0% en 2 mientras que
para cada E * $0, 0% la aplicacign I * 1 + ( 9 E, I! es lipschitz en 2 esto
es,
49 E, I! 9 E, J!42 % µ2 4I
J42
donde µ2 & 0 una constante.
(f2) Existe µ4 > 0 tal que
49 E, I! 9 E, J!43 % µ4 4I
J43
para todo E * $0, 0%, I,J * 1 .
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Hipótesis (f1)
y (f2)
(f1) 9 : $0, 0% ! 1 ( 3 es acotada
49 E, I!43 % λ3 ,
E * $0, 0% ,
I * 1 .
Para cada I * 1 , E + ( 9 E, I! es continua de $0, 0% en 2 mientras que
para cada E * $0, 0% la aplicacign I * 1 + ( 9 E, I! es lipschitz en 2 esto
es,
49 E, I! 9 E, J!42 % µ2 4I
J42
donde µ2 & 0 una constante.
(f2) Existe µ4 > 0 tal que
49 E, I! 9 E, J!43 % µ4 4I
J43
para todo E * $0, 0%, I,J * 1 .
Como en nuestro caso, 9 E, F E!! # 0, las hipgtesis f1! y f2! son trivialmente
satisfechas.
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Teorema
1
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GRACIAS
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